Question

9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积S=a²-b²-c²+2bc，则sinA=$\frac{8}{17}$．（用数值作答）

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理，三角形面积公式可解得cosA=1-$\frac{1}{4}$sinA，两边平方结合sinA≠0，即可解得sinA的值．

解答 解：∵由余弦定理可得：b²+c²-a²=2bccosA，S=a²-b²-c²+2bc，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=2bc-2bccosA，
∴cosA=1-$\frac{1}{4}$sinA，两边平方，可得：cos²A=1+$\frac{1}{16}$sin²A-$\frac{1}{2}$sinA，
整理可得：$\frac{17si{n}^{2}A}{8}$=sinA，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴解得：sinA=$\frac{8}{17}$．
故答案为：$\frac{8}{17}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．