Question

9．利用单位圆如三角函数线．
（1）证明：sinα＜α＜tanα，其中0＜α＜$\frac{π}{2}$；
（2）已知0≤x≤2π，解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞cosx}\\{sinx＞tanx}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）在单位圆中作出角α的正弦线，正切线，观察可得结论．
（2）利用角的范围，分别求解两个不等式的范围，然后求解交集即可．

解答 解：（1）证明：如图所示，在单位圆中作出角α的正弦线$\overrightarrow{MP}$，正切线$\overrightarrow{AT}$，
观察可得，AT＞$\widehat{AP}$＞PM，故有sinα＜α＜tanα，
故得证．
（2）由，0≤x≤2π，sinx＞cosx，
可得x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$）．
又，sinx＞tanx，可得x∈（$\frac{π}{2}$，π）∪（$\frac{3π}{2}$，2π）．
∴不等式组$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞cosx}\\{sinx＞tanx}\end{array}\right.$的解集为：{x|$\frac{π}{2}$＜x＜π}．

点评 本题主要考查三角函数线的定义，考查三角函数的图象与性质的应用，考查计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．