Question

4．已知△ABC的重心为O，过O任做一直线分别交边AB，AC于P，Q两点，设$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{AC}$，则4m+9n的最小值是$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到等式，利用基本不等式求解表达式的最值．

解答 解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，
∵点D是BC的中点，△ABC的重心为O，可得AO=2OD．
∴OD是梯形的中位线，
∴BE+CF=2OD，$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{AC}$，可得：$\frac{BA-PA}{PA}=\frac{BP}{PA}=\frac{BE}{OA}=\frac{BA}{PA}-1=\frac{1}{m}-1$，$\frac{CA-QA}{QA}=\frac{CF}{OA}=\frac{CA}{QA}-1=\frac{1}{n}-1$，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$-2=$\frac{BE}{OA}+\frac{CF}{OA}$=$\frac{2DO}{OA}$=1．
可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3
4m+9n=$\frac{1}{3}$（4m+9n）（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{3}$（4+9+$\frac{4m}{n}+\frac{9n}{m}$）≥$\frac{1}{3}$（13+2$\sqrt{\frac{4m}{n}•\frac{9n}{m}}$）=$\frac{25}{3}$．
当且仅当2m=3n，$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3时取等号．
故答案为：$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查向量的应用，基本不等式的应用，重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理．