Question

如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为A，F，直线l的方程为x=9，N为l上一点，且在x轴的上方，AN与椭圆交于M点
（1）若M是AN的中点，求证：MA⊥MF．
（2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求|PQ|的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证MA⊥MF，只需证明，分别求出，的坐标，再用向量的数量积的坐标运算计算即可．
（2）欲求|PQ|的范围，需先将|PQ|用某个参数表示，再求最值，可先找到圆心坐标和半径，再利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，得到用参数表示的|PQ|，再用均值不等式求范围．
解答：解：（1）由题意得A（-6，0），F（4，0），x_N=9∴
又M点在椭圆上，且在x轴上方，得

（2）设N（9，t），其中t＞0，∵圆过A，F，N三点，
∴设该圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，有
解得 
∴圆心为，半径r=
∴，
∵t＞0∴，当且仅当，即时取“=”
∴，∴|PQ|的取值范围是
点评：本题考查了椭圆与圆之间的关系，其中圆中弦长的求法必须掌握．