Question

如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．

（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；

（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

；

【解析】

试题分析：（I）利用中点坐标公式，求M坐标，代入椭圆方程即可；（II）设，表示出P坐标，再利用垂直条件写关系式，求的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）解：依题意，是线段的中点，

因为，，

所以 点的坐标为．      2分

由点在椭圆上，   

所以 ，                                                   4分

解得 ．                                                          5分

（Ⅱ）解：设，则 ，且．                   ①              6分

因为 是线段的中点，

所以 ．                                                  7分

因为 ，

所以 ．             ②                                  8分

由 ①，② 消去，整理得 ．                              10分

所以 ，                           12分

当且仅当 时，上式等号成立．                        

所以 的取值范围是．                                      14分

考点：１．中点坐标公式；２．基本不等式，分离常数；３．转化思想.