Question

如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．

（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；

（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．

 

 

Answer 1

【答案】

(I) ；(II) .

【解析】

试题分析：(I)利用中点坐标公式，求M坐标，代入椭圆方程即可求m；（II）设，表示出P坐标，再利用垂直条件写关系式，求的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）解：依题意，是线段的中点，

因为，，

所以 点的坐标为．2分

由点在椭圆上，   

所以 ，                                             4分

解得 ．                                                    5分

（Ⅱ）解：设，则 ，且．                   ①        6分

因为 是线段的中点，

所以 ．                                            7分

因为 ，

所以 ．             ②                            8分

由 ①，② 消去，整理得 ．                        10分

所以 ，                     12分

当且仅当 时，上式等号成立．                        

所以 的取值范围是．                                13分

考点：1.中点坐标公式;2.基本不等式，分离常数;3.转化思想.