Question

【题目】如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，，四边形为平行四边形，且.

（1）求证：；

（2）若，，直线与平面所成角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此.证明平面，即可证明结论；

（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，代入向量的夹角公式，即可得答案；

（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此.

，，，，，

由已知得为等腰直角三角形，

因为，又，，

平面，.

（2），平面，平面，平面，

平面平面，.

由（1）可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题设可得，进而可得，，，，，.

设平面的法向量，则，，可取.

设平面的法向量，则，，可取.

则.

二面角的余弦值为.