题目内容
【题目】已知椭圆
的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为
，
为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点，记
面积的最大值为
，证明： 
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）先建立直线的方程。然后与椭圆方程联立，再借助坐标之间的关系建立关于三角形面积的函数关系，通过计算进行推证：
（Ⅰ）解：由题意，得椭圆
的半焦距
，右焦点
，上顶点
，所以直线
的斜率
，解得
，由
，得
，所以椭圆的方程为
.
（Ⅱ）证明：设直线
的方程为
，其中
， 
，由方程组
得
所以
，于是有
，所以
，因为原点
到直线
的距离 
，
所以
当
时， 
，所以当
时
的最大值
，验证知
成立；
当
时，所以当时
的最大值
验证知
成立；所以
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【题目】2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 169 | 178 | 166 | 175 | 180 |
| 75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
（1）求乙厂生产的产品数量：
（2）当产品中的微量元素
满足：
，且
时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．
