Question

10．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B₁C₁和BC的中点．
（1）求证：MB∥平面AC₁N；
（2）求证：AC⊥MB．

Answer 1

分析 （1）证明MC₁NB为平行四边形，所以C₁N∥MB，即可证明MB∥平面AC₁N；
（2）证明AC⊥平面BCC₁B₁，即可证明AC⊥MB．

解答 证明：（1）证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为点M，N分别是B₁C₁，BC的中点，
所以C₁M∥BN，C₁M=BN．
所以MC₁NB为平行四边形．
所以C₁N∥MB．
因为C₁N?平面AC₁N，MB?平面AC₁N，
所以MB∥平面AC₁N；
（2）因为CC₁⊥底面ABC，
所以AC⊥CC₁．
因为AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁．
因为MB?平面BCC₁B₁，
所以AC⊥MB．

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．