Question

6．已知f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）．
（1）指出函数的奇偶性，并予以证明；
（2）求证：对任何x（x∈R，且x≠0）都有f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可判定函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）根据指数函数的性质结合偶函数的对称性证明当x＞0时，f（x）＞0即可．

解答 证明：（1）f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=$\frac{x（{2}^{x}-1）}{{2}^{x}+1}$．
则函数f（x）为偶函数．
∵f（-x）=$\frac{-x（{2}^{-x}-1）}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{-x•（1-{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=$\frac{x（{2}^{x}-1）}{{2}^{x}+1}$=f（x），
∴函数f（x）为偶函数．
（2）∵函数f（x）为偶函数．
∴只要证明当x＞0时，f（x）＞0即可．
当x＞0时，2^x＞1，则2^x-1＞0，2^x+1＞0，
则f（x）=$\frac{x（{2}^{x}-1）}{{2}^{x}+1}$＞0，
∴对所有非零实数x，都有f（x）＞0成立．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数值的证明，比较基础．