Question

11．设x₁，x₂是函数f（x）=ax²+bx-a²（a＞0）的两个零点，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）用a表示b²，并求出a的取值范围．
（2）设函数h（x）=f（x）-2a（x-x₁），当x₁＜x＜2且x₁＜0时，证明：|h（x）|≤4a．

Answer 1

分析 （1）借助条件：“|x₁|+|x₂|=2”由此入手建立b²=4a²-4a³，再由b²≥0，从而能够求出a的取值范围．
（2）h（x）=f（x）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2），由x-x₁＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，知x₂＞0，x＜2，x-x₂-2＜0，由此结合基本不等式能够证明|g（x）|≤4a．

解答 （1）解：∵x₁，x₂是函数f（x）=ax²+bx-a²（a＞0）的两个零点
∴x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，
由条件|x₁|+|x₂|=2平方，可得x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=4，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=4，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-2（-a）+2a=4，
∴b²=4a²-4a³ 
∵b²≥0，∴4a²-4a³≥0，
∴0＜a≤1；
（2）证明：∵x₁，x₂是方程a x²+bx-a²=0的两个实根，
∴f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
∴h（x）=a（x-x₁）（x-x₂）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2）
∴|h（x）|=a|x-x₁||x-x₂-2|≤$a[\frac{|x-{x}_{1}|+|x-{x}_{2}-2|}{2}]^{2}$
∵x＞x₁，∴x-x₁＞0．
又∵x₁＜0，∴x₁ x₂＜0，∴x₂＞0．∴x₂+2＞2．
又∵x＜2，∴x-x₂-2＜0 
∴|h（x ）|≤$a（\frac{{x}_{2}-{x}_{1}+2}{2}）^{2}$．
又∵|x₁|+|x₂|=2，且x₁＜0，x₂＞0，∴x₂-x₁=2．
将其代入上式得|h（x ）|≤4a．

点评 本题考查函数零点，考查韦达定理的应用，合理地进行等价转化是关键．