Question

（本小题满分14分）
已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线相切。记动点P的轨迹为C。
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线相交于点Q。试研究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）x轴上存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M

试题分析：（Ⅰ）因为动圆P过定点A（1，0），且与直线x=－1相切，
所以圆心P到点A（1，0）的距离与到直线x=－1的距离相等。
根据抛物线定义，知动点P的轨迹为抛物线，且方程为C：。       4分
（Ⅱ）设直线l的方程为，（易知斜率不存在的直线不符合要求）
由，消去y得，
由题意，得k≠0，且，化简得km=1。       6分
设直线l与曲线C相切的切点P（x₀，y₀），
则
所以，
由。                                    8分
若取k=1，m=1，此时P（1，2），Q（－1，0），以PQ为直径的圆为，交x轴于点M₁（1，0），M₂（－1，0）；
若取，此时以PQ为直径的圆为
，交x轴于点M₃（1，0），M₄。
所以若符合条件的点M存在，则点M的坐标必为（1，0）。（即为点A）     10分
以下证明M（1，0）就是满足条件的点。
因为M的坐标为（1，0），
所以，                                11分
从而，
故恒有,
即在x轴上存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M。          14分
点评：第一问用定义法求动点的轨迹方程是圆锥曲线题目经常出现的类型，第二问证明动圆过定点先通过两个特殊圆找到过的定点，进而证明此点在任意的以PQ为直径的圆上