Question

12．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1
（1）求f（x）的单调增区间和对称中心坐标；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m个单位，使函数关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称，求m的最小正值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，求得f（x）的单调增区间和对称中心坐标．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得所得图象对应的解析式，再根据它的图象的对称性，求得m的最小正值．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1=-cos（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函数的图象的对称中心为（2kπ+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象向右平移m个单位，
可得=2sin[2（x-m）-$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-2m-$\frac{π}{3}$）的图象，
再根据所得图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称，
可得2•$\frac{π}{3}$-2m-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$-2m=nπ，n∈Z，
即m=$\frac{π}{6}$-$\frac{n}{2}$π，故m的最小正值为$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．