Question

2．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞0，f（x）•f（y）=f（x+y），且f（1）=$\frac{1}{2}$，当x∈（0，+∞）时f（x）＜1，关于x的不等式f（a）•f（-2-xe^x）-4＞0（其中e为自然对数的底数）恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 利用定义判断函数的单调性，根据函数的单调性把恒成立问题转化为求函数最值问题解决．

解答 解：对于?x₁＞x₂，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₂+x₁-x₂）-f（x₂）
=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
又x₁-x₂＞0，所以f（x₁-x₂）＜1，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上单调递减．
f（0）•f（0）=f（0+0）得f（0）=1或0（舍），f（-1）•f（1）=f（-1+1）得f（-1）=2，从而f（-2）=4，所以原不等式f（a）•f（-2-xe^x）-4＞0
等价于f（a-2-xe^x）＞f（-2）
所以a-2-xe^x＜-2即a＜xe^x恒成立，
令t=xe^x，t'=e^x（1+x），
当x＞-1时，函数递增，当x＜-1时，函数递减，
所以当x=1时，函数取最小值为-$\frac{1}{e}$，
所以a＜-$\frac{1}{e}$．
故答案为（-∞，-$\frac{1}{e}$）．

点评 考查了抽象函数的单调性判断和恒成立问题的转化．