Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l₁：x=m（|m|＞1），P为l₁上的动点，使∠F₁PF₂最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先椭圆的标准方程，根据长轴A₁A₂的长为4求得a，根据|MA₁|：|A₁F₁|=2：1求得c，最后根据b=求得b．椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设P（m，y），|m|＞1，依题意可知只需求tan∠F₂PF₂的最大值即可．设出直线PF₁和PF₂的斜率可表示出tan∠F₁PF₂，根据y的范围进而确定tan∠F₁PF₂的范围，进而可求得∠F₁PF₂最大时点Q的坐标．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），半焦距为c，则|MA₁|=-a，|A₁F₁|=a-c．
由题意，得∴a=2，b=，c=1．故椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）设P（m，y），|m|＞1，
当y=0时，∠F₁PF₂=0；
当y≠0时，0＜∠F₁PF₂＜PF₁M＜，
∴只需求tan∠F₂PF₂的最大值即可．
设直线PF₁的斜率k₁=，直线PF₂的斜率k₂=，
∴tan∠F₁PF₂=||=≤=
当且仅当=|y|时，∠F₁PF₂最大，∴Q（m，±）|m|＞1．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．圆锥曲线问题的综合考查是历年来高考的热点问题，应作为重点来复习．