题目内容
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）当|AB|=
| 12 |
| 5 |
| 2 |
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．
分析：（1）设椭圆方程为
+
=1由e=
可得a，b之间的关系，再由椭圆过点M（4，1），代入椭圆方程可得a，b得另一个关系式，联立可求
（2）将y=x+m代入
+
=1，整理可得5x2+8mx+4m2-20=0，由|AB|=
|x1-x2|=
可求m
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，要证明直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．只要证明k1+k2=0即可
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（2）将y=x+m代入
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
| 2 |
4
| ||
| 5 |
| 25-m2 |
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，要证明直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．只要证明k1+k2=0即可
解答：解：（1）设椭圆方程为
+
=1
因为e=
所以a=2b
又椭圆过点M（4，1），所以
+
=1解得a=2
，b=
故椭圆方程为
+
=1
（2）将y=x+m代入
+
=1
5x2+8mx+4m2-20=0
|AB|=
|x1-x2|=
=
，得到m=±4
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0
设A（x1，y1）B（x2，y2），则x1+x2=-
， x1x2=
k1+k2=
+
=
分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
=
-
-8(m-1)=0
因此MA，MB与x轴所围成的三角形为等腰三角形
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
因为e=
| ||
| 2 |
又椭圆过点M（4，1），所以
| 16 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 5 |
| 5 |
故椭圆方程为
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
（2）将y=x+m代入
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
5x2+8mx+4m2-20=0
|AB|=
| 2 |
4
| ||
| 5 |
| 25-m2 |
12
| ||
| 5 |
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0
设A（x1，y1）B（x2，y2），则x1+x2=-
| 8m |
| 5 |
| 4m2-20 |
| 5 |
k1+k2=
| y1-1 |
| x1-4 |
| y2-1 |
| x2-4 |
| (y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4) |
| (x1-4)(x2-4) |
分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
=
| 2(4m2-20) |
| 5 |
| 8m(m-5) |
| 5 |
因此MA，MB与x轴所围成的三角形为等腰三角形
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，在处理直线与椭相交的位置关系的处理中，联立方程是最常用的处理方法，根与系数的关系的应用是处理此类问题的关键所在，
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|：|A1F1|=2：1．
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，
（2012•马鞍山二模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）．