Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，

2

），且离心率为

3

2

．
（ I）求椭圆的标准方程；
（ II）过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，点N在线段PQ上．设

| MP |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题设条件求出b²和a²，由此可以求出椭圆的标准方程；
（ II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），分两种情况讨论：①若直线l与y轴重合，此时λ易解得；②若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得一元二次方程，由韦达定理及

| MP |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ可得x0=-

1

k

，进而可求出y₀值，结合图象可得1＜y₁＜

2

，再由λ与y₁的关系即可求得λ的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
因为它的一个顶点为A（0，

2

），所以b²=2，由离心率等于

3

2

，
得

a2-b2 a2

=

3

2

，解得a²=8，
所以椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（ II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
①若直线l与y轴重合，则

| MP |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ⇒

2- 2

2 -y0

=

2+ 2

2 +y0

=λ，解得y₀=1，得λ=

2

；
②若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，
与椭圆方程联立消去y，得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
根据韦达定理得，x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

8

1+4k2

，（*）
由

| MP |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ，得

0-x1

x1-x0

=

0-x2

x0-x2

，
整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），把上面的（*）式代入得x0=-

1

k

，
又点N在直线y=kx+2上，所以y0=k(-

1

k

)+2=1，于是由图象知1＜y₁＜

2

，
λ=

2-y1

y1-1

=

1

y1-1

-1，由1＜y₁＜

2

，得

1

y1-1

＞

2

+1，所以λ＞

2

．
综上所述，λ≥

2

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大．