Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l₁：x=m（|m|＞1），P为l₁上的动点，使∠F₁PF₂最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先椭圆的标准方程，根据长轴A₁A₂的长为4求得a，根据|MA₁|：|A₁F₁|=2：1求得c，最后根据b=

a2-c2

求得b．椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设P（m，y₀），|m|＞1，依题意可知只需求tan∠F₂PF₂的最大值即可．设出直线PF₁和PF₂的斜率可表示出tan∠F₁PF₂，根据y₀的范围进而确定tan∠F₁PF₂的范围，进而可求得∠F₁PF₂最大时点Q的坐标．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距为c，则|MA₁|=

a2

c

-a，|A₁F₁|=a-c．
由题意，得

a2 c -a=2(a-c) 2a=4 a2=b2+c2

∴a=2，b=

3

，c=1．故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）设P（m，y₀），|m|＞1，
当y₀=0时，∠F₁PF₂=0；
当y₀≠0时，0＜∠F₁PF₂＜PF₁M＜

π

2

，
∴只需求tan∠F₂PF₂的最大值即可．
设直线PF₁的斜率k₁=

y0

m+1

，直线PF₂的斜率k₂=

y0

m-1

，
∴tan∠F₁PF₂=|

k2-k1

1+k1k2

|=

2|y0|

m2-1+y02

≤

2|y0|

2 m2-1 •|y0|

=

1

m2-1

当且仅当

m2-1

=|y₀|时，∠F₁PF₂最大，∴Q（m，±

m2-1

）|m|＞1．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．圆锥曲线问题的综合考查是历年来高考的热点问题，应作为重点来复习．