Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，S_n+1-2=4a_n．设b_n=a_n+1-2a_n．
（1）证明：数列{b_n}为等比数列，并写出{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-1}，n为奇数}\\{lo{g}_{2}{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=3，及S_n+1-2=4a_n，可得b₁=a₂-2a₁=1，又当n≥2时，有S_n-2=4a_n-1，与条件相减，即可证得{b_n}是以b₁=1为首项、以2为公比的等比数列，并能写出{b_n}的通项公式．
（2）由已知得T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n-2+c_2n）=（2⁰+2²+…+2^2n-2）+（1+3+…+2n-1），由此能求出结果．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，S_n+1-2=4a_n，①
∴当n≥2时，S_n-2=4a_n-1，②
①-②，得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n=2a_n-4a_n-1，b_n+1=2a_n+1-4a_n=4a_n-8a_n-1，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，
∴数列{b_n}为公比为2的等比数列．
∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，S_n+1-2=4a_n，
∴3+a₂-2=4×2，解得a₂=7，
∴b₁=a₂-2a₁=7-2×3=1，
∴${b}_{n}={2}^{n-1}$．
（2）解：∵数列{c_n}满足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-1}，n为奇数}\\{lo{g}_{2}{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，
∴${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-1}，n为奇数}\\{n-1，n为偶数}\end{array}\right.$，
∴T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n-2+c_2n）
=（2⁰+2²+…+2^2n-2）+（1+3+…+2n-1）
=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$+$\frac{n（1+2n-1）}{2}$
=$\frac{{4}^{n}-1}{3}+{n}^{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等比数列与等差数列的证明，考查数列的通项，正确运用等差数列与等比数列的定义是关键．