Question

13．近期世界各国军事演习频繁，某国一次军事演习中，空军同时出动甲、乙、丙三架不同型号的战斗机对一目标进行一次轰炸，已知甲击中目标的概率是$\frac{3}{4}$；甲，丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率是$\frac{1}{12}$；乙、丙同时轰炸一次郡击中目标的概率是$\frac{1}{4}$，且甲，乙，丙是否击中目标相互独立．
（1）求乙，丙各自击中目标的概率；
（2）甲，乙，丙同时对一目标进行一次轰炸，设击中目标的次数为X，求X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用甲击中目标的概率是$\frac{3}{4}$；甲，丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率是$\frac{1}{12}$；乙、丙同时轰炸一次郡击中目标的概率是$\frac{1}{4}$，且甲，乙，丙是否击中目标相互独立，建立方程，求乙，丙各自击中目标的概率；
（2）X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得X的数学期望．

解答 解：（1）记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A、B、C．则
由已知得P（A）=$\frac{3}{4}$，P（$\overline{A}\overline{C}$ ）=$\frac{1}{4}$[1-P（C）]=$\frac{1}{12}$，∴P（C）=$\frac{2}{3}$
由P（BC）=P（B）P（C）=$\frac{1}{4}$，得$\frac{2}{3}$P（B）=$\frac{1}{4}$，∴P（B）=$\frac{3}{8}$；
（2）X的取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}×\frac{5}{8}$=$\frac{5}{96}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{8}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{5}{8}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{3}{8}$=$\frac{28}{96}$，
P（X=2）=$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{8}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{5}{8}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{45}{96}$，
P（X=3）=$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{18}{96}$，
∴EX=0×$\frac{5}{96}$+1×$\frac{28}{96}+2×\frac{45}{96}+3×\frac{18}{96}$=$\frac{43}{24}$．

点评 本题考查概率的计算，考查数学期望，考查学生的计算能力，正确求概率是关键．