Question

16．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=$\frac{2x+3}{x+1}$．
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的对称性进行转化即可；
（2）利用导数的方法，即可得出结论．

解答 解：（1）若x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=$\frac{2x+3}{x+1}$，
∴f（-x）=$\frac{-2x+3}{-x+1}$，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=$\frac{-2x+3}{-x+1}$；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
∵当x＞0时，f（x）=$\frac{2x+3}{x+1}$，f′（x）=$\frac{2（x+1）-2x-3}{（x+1）^{2}}$=-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上的单调递减．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，考查函数的单调性，根据函数奇偶性的对称性是解决本题的关键．