题目内容
11.设0<α<$\frac{π}{2}$,$\sqrt{3}$tan($\frac{π}{3}-α$)=$\frac{1-sinα}{sinα}$.求α.分析 由三角函数恒等变化的应用化简已知等式可得sin2α=sin($\frac{π}{6}$+α),解得α=$\frac{π}{6}$+2kπ,k∈Z或α=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$,k∈Z,结合范围0<α<$\frac{π}{2}$,即可得解.
解答 解:∵$\sqrt{3}$tan($\frac{π}{3}-α$)=$\frac{1-sinα}{sinα}$.
⇒$\frac{3-\sqrt{3}tanα}{1+\sqrt{3}tanα}$=$\frac{1-sinα}{sinα}$.
⇒3sinα-$\sqrt{3}$sinαtanα=1+$\sqrt{3}$tanα-sinα-$\sqrt{3}$sinαtanα
⇒4sinα=1+$\sqrt{3}$tanα
⇒4sinαcosα=cosα+$\sqrt{3}$sinα
⇒4sinαcosα=2sin($\frac{π}{6}$+α)
⇒2sinαcosα=sin($\frac{π}{6}$+α)
⇒sin2α=sin($\frac{π}{6}$+α)
∴2α=$\frac{π}{6}$+α+2kπ,k∈Z或2α=π-($\frac{π}{6}$+α)+2kπ,k∈Z,
解得:α=$\frac{π}{6}$+2kπ,k∈Z或α=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$,k∈Z,
又∵0<α<$\frac{π}{2}$,
∴解得:α=$\frac{π}{6}$.
点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用,考查了正弦函数的图象和性质,解题时要注意角的范围,属于基础题.
练习册系列答案
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