Question

16．若非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2，|$\overrightarrow b$|=1，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角的余弦值为-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 运用向量的平方即为模的平方，计算可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，再由向量夹角公式：cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，计算即可得到所求值．

解答 解：由非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2，|$\overrightarrow b$|=1，
可得|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，
即有向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{2×1}$=-$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查向量数量积的夹角公式的运用，考查向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．