Question

13．已知函数y=f（x）的定义域的R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列{a_n}满足f（a_n+1）f（$\frac{1}{1+a_n}$）=1（n∈N^*），且a₁=f（0），则下列结论成立的是（　　）

• A． f（a₂₀₁₃）＞f（a₂₀₁₆）
• B． f（a₂₀₁₄）＞f（a₂₀₁₇）
• C． f（a₂₀₁₆）＜f（a₂₀₁₅）
• D． f（a₂₀₁₃）＞f（a₂₀₁₅）

Answer 1

分析 利用恒等式和赋值法求f（0）的值，由恒等式化简f（a_n+1）f（$\frac{1}{1+a_n}$）=1，得到数列的递推公式，依次求出a₂、a₃、a₄，判断数列{a_n}是周期数列，再由周期性求出a₂₀₁₃、a₂₀₁₄、a₂₀₁₅、a₂₀₁₆、a₂₀₁₇，即可比较大小，选出答案项．

解答 解：∵对任意的实数x，y∈R，f（x）•f（y）=f（x+y）恒成立，
∴令x=-1，y=0，则f（-1）•f（0）=f（-1），
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（-1）≠0，则f（0）=1，
∵f（a_n+1）f（$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=1=f（0），
∴f（a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=f（0）=a₁，则a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=0，
即a_n+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，且a₁=1，
当n=1时，a₂=-$\frac{1}{2}$；当n=2时，a₃=-2；当n=3时，a₄=1，
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
∴a₂₀₁₃=a₃=-2，a₂₀₁₄=a₁=1，a₂₀₁₅=a₂=-$\frac{1}{2}$，
a₂₀₁₆=a₃=-2，a₂₀₁₇=a₁=1，
故选：C．

点评 本题考查数列与函数的综合运用，以及数列的周期性，一般采用赋值法，根据恒等式求出数列的递推公式是解决本题的关键．