Question

9．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{y-x-1≤0}\\{x≤1}\end{array}\right.$，则$\frac{x+2y}{2x+y}$的取值范围是[1，$\frac{7}{5}$]．

Answer 1

分析 令u=$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{1+2•\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}$，设k=$\frac{y}{x}$，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
令u=$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{1+2•\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则u=$\frac{1+2k}{2+k}$=2-$\frac{3}{k+2}$，
而k的几何意义表示过平面区域内的点与原点的直线的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得：A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得：B（1，1），
∴K_OA=3，K_OB=1，
∴1≤k≤3，
函数u=$\frac{1+2k}{2+k}$=2-$\frac{3}{k+2}$在k∈[1，3]递增，
k=1时，u=1，k=3时：u=$\frac{7}{5}$，
∴u=$\frac{x+2y}{2x+y}$的范围是[1，$\frac{7}{5}$]，
故答案为：[1，$\frac{7}{5}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．