Question

【题目】平面上有n个点，任意三点不共线，任意两点之间连一条线段，并将每条线段染为红色与蓝色之一，称三边颜色相同的三角形为“同色三角形”．记同色三角形的个数为S．

（1）若，对于所有可能的染法，求S的最小值；

（2）若（整数），对于所有可能的染法，求S的最小值．

Answer 1

【答案】

【解析】

对于（），统一证明：S的最小值为．

因为共有个三角形，所以，非同色三角形有个．

称两条邻边（有一个公共点）同色的角为同色角．

接下来计算同色角的个数．

一方面，同色角的个数为

．

另一方面，对于每个点A，由点A引出的条边中，若一种颜色的边有i条，则另一种颜色的边有（）条．

于是，以A为顶点的同色角的个数为，

其中，当，1时，．

设．

从而，当时，严格单调下降．

则以A为顶点的同色角的个数至少为．

故．

下面的例子说明为S的最小值．

设这2k个点分别为．

将两两之间的连线染为红色，两两之间的连线染为红色．对于所有i、，将、之间的连线染为蓝色，则不存在蓝色三角形，且以中任意三个点为顶点的三角形均为红色三角形，以中任意三个点为顶点的三角形均为红色三角形．

因此，同色三角形的个数为