Question

【题目】已知函数f（x）＝x2+2alnx.

(1)若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；

(2)若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，由导数的几何意义得，解方程即可；（2）根据函数的单调性与导数的关系可得在[1，2]上恒成立，等价于为在[1,2]上恒成立,利用导数求出函数在[1，2]上的最小值，从而可得出结论．

(1)函数的导数为，

由已知f′(2)=1，即4+a=1，解得a=3.

(2) 由，得，

由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，

则g′(x)0在[1,2]上恒成立，

即在[1,2]上恒成立，

即在[1,2]上恒成立,

令,在[1,2]上，

所以h(x)在[1,2]为减函数，，

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