Question

14．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$经过一、三象限的渐近线为m，若圆${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}x-2\sqrt{5}y+6=0$上至少有三个不同的点到m的距离为1，则此双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

• A． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，2\sqrt{5}}]$
• B． $（{1，\sqrt{5}}]$
• C． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\sqrt{5}}]$
• D． $[{\sqrt{5}，2\sqrt{5}}]$

Answer 1

分析 圆${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}x-2\sqrt{5}y+6=0$上至少有三个不同的点到m的距离为1，可得圆心到直线的距离小于等于1，建立不等式，即可求出双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：圆${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}x-2\sqrt{5}y+6=0$，可化为（x-$\sqrt{5}$）²+（y-$\sqrt{5}$）²=4，
∵圆${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}x-2\sqrt{5}y+6=0$上至少有三个不同的点到m的距离为1，
∴圆心到直线的距离小于等于1，
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$经过一、三象限的渐近线为m：bx-ay=0，
∴$\frac{|\sqrt{5}b-\sqrt{5}a|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$≤1，
∴2b²-5ab+2a²≤0，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{b}{a}$≤2，
∴1+$\frac{1}{4}$≤1+（$\frac{b}{a}$）²≤5，
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤e≤$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率e的取值范围，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．