Question

求函数y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：函数y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-5)2+(0-2)2

，表示x轴上动点P（x，0）到定点A（1，1）和B（5，2）的距离之和，利用对称法，将问题转化为平面上两点之间线段最短，可得答案．

解答： 解：∵函数y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-5)2+(0-2)2

，
表示x轴上动点P（x，0）到定点A（1，1）和B（5，2）的距离之和，
作点A（1，1）关于x轴的对称点A′（1，-1），
则动点P（x，0）到定点A（1，1）和B（5，2）的距离之和，
即动点P（x，0）到定点A′（1，-1）和B（5，2）的距离之和，
当A′，P，B三点共线时，距离和最小，
∵|A′B|=

(5-1)2+(2+1)2

=5，
故函数y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

的最小值为5．

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中分析出函数y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

，表示x轴上动点P（x，0）到定点A（1，1）和B（5，2）的距离之和，是解答的关键．