Question

若双曲线x²-y²=a²（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点，若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=kα（k＞1），那么α的值是（　　）

• A、

  π

  2k-1

• B、

  π

  2k

• C、

  π

  2k+1

• D、

  π

  2k+2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（m，n），得直线PA、PB的斜率K_PA和K_PB满足：K_PA•K_PB=

n2

m2-a2

，由点P是双曲线x²-y²=a²上的点，得n²=m²-a²，整理得K_PA•K_PB=1．由斜率与倾斜角的关系，得tanα•tanβ=1，结合三角函数诱导公式，得α+β=

π

2

，最后根据β=α化简整理，即可得到本题的答案．

解答： 解：∵双曲线方程为x²-y²=a²，即

x2

a2

-

y2

a2

=1（a＞0）
∴双曲线的左顶点为A（-a，0），右顶点为B（a，0）
设P（m，n），得
直线PA的斜率为K_PA=

n

m+a

；直线PB的斜率为K_PB=

n

m-a

∴K_PA•K_PB=

n2

m2-a2

…（1）
∵P（m，n）是双曲线x²-y²=a²上的点，
∴m²-n²=a²，得n²=m²-a²，代入（1）式得K_PA•K_PB=1，
∵直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得tanα=K_PA，tanβ=K_PB，
∴tanα•tanβ=1，
∵P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角
∴α+β=（k+1）α=

π

2

，解之得α=

π

2k+2

，
故选D．

点评：本题给出等轴双曲线上一点P，求P与两个顶点连线的倾斜角之间的一个关系式，着重考查了直线的斜率、三角函数公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．