Question

11．在半径为2的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为3时，它的面积最大．

Answer 1

分析 设圆内接等腰三角形ABC的底边长为2x，高为h．运用勾股定理可得x=$\sqrt{h（4-h）}$，进而得到面积函数的解析式，求出导数，单调区间，可得h=3处取得极大值，且为最大值．

解答 解 设圆内接等腰三角形ABC的底边长为2x，高为h．
那么h=AO+OD=2+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，解得x²=h（4-h），
于是内接三角形的面积为S=x•h=$\sqrt{h（4-h）}$•h，
由S′=$\frac{h（2-h）}{\sqrt{h（4-h）}}$+$\sqrt{h（4-h）}$=$\frac{2h（3-h）}{\sqrt{h（4-h）}}$，（0＜h＜4）．
令S′=0，解得h=3，
 当h∈（0，3）时，S′＞0，函数S递增；
当h∈（3，4）时，S′＜0，函数S递减．
可得函数S在h=3处取得极大值，且为最大值．
故答案为：3．

点评 本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，正确求出面积函数的解析式，并求出导数是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．