Question

15．在直角坐标系中，曲线C₁：x²+y²=1经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{3}x}\\{y′=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$后得到曲线C₂．
（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C₂的极坐标方程；
（2）设A，B是曲线C₂上不同的两点，且OA⊥OB，求$\frac{1}{O{A}^{2}}$$+\frac{1}{O{B}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{3}x}\\{y′=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{\sqrt{3}}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{\sqrt{2}}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C₁的方程可得曲线C₂的直角坐标方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲线C₂的极坐标方程．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{2}$，由OA⊥OB，不妨设A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，代入化简即可得出．

解答 解：（1）由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{3}x}\\{y′=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{\sqrt{3}}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{\sqrt{2}}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C₁的方程可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{3}$+$\frac{（{y}^{′}）^{2}}{2}$=1，
即曲线C₂的直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得：曲线C₂的极坐标方程为ρ²$（\frac{co{s}^{2}θ}{3}+\frac{si{n}^{2}θ}{2}）$=1．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{2}$，
∵OA⊥OB，不妨设A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，
∴$\frac{1}{O{A}^{2}}$$+\frac{1}{O{B}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{2}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{3}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{2}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化及其应用、坐标变换、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．