Question

12．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧面A₁ADD₁⊥面ABCD，底面ABCD是矩形，且AB=2，AD=1，AA₁=$\sqrt{5}$，∠A₁AD的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求证：平面A₁DCB₁⊥平面ABCD；
（2）求BD₁与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理计算A₁D，根据勾股定理的逆定理得出A₁D⊥AD，又AD⊥CD，得出AD⊥平面A₁DCB₁，于是平面A₁DCB₁⊥平面ABCD；
（2）延长AD至E，使得AD=AE，连结D₁E，则可证明D₁E⊥平面ABCD，于是∠D₁BE为BD₁与平面ABCD所成的角，tan∠D₁BE=$\frac{{D}_{1}E}{BE}$．

解答 证明：（1）∵AD=1，AA₁=$\sqrt{5}$，cos∠A₁AD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．∴A₁D=$\sqrt{A{D}^{2}+{A}_{1}{A}^{2}-2AD•A{A}_{1}cos∠{A}_{1}AD}$=2．
∴AD²+A₁D²=A₁A²，∴A₁D⊥AD．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
又A₁D?平面A₁DCB₁，CD?平面A₁DCB₁，A₁D∩CD=D．
∴AD⊥平面A₁DCB₁，∵AD?平面ABCD，
∴平面A₁DCB₁⊥平面ABCD．
（2）延长AD至E，使得AD=DE，连结D₁E，BE，
∵DE=AD=A₁D₁，AD∥A₁D₁，
∴四边形A₁DED₁是平行四边形，∴D₁E∥A₁D，D₁E=A₁D=2．
∵侧面A₁ADD₁⊥面ABCD，侧面A₁ADD₁∩面ABCD=AD，A₁D⊥AD，A₁D?平面A₁ADD₁，
∴A₁D⊥平面ABCD，
∴D₁E⊥平面ABCD．
∴∠D₁BE为BD₁与平面ABCD所成的角．
∵AE=2AD=2，AB=2，∴BE=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠D₁BE=$\frac{{D}_{1}E}{BE}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．