Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）判断方程在内的解的个数，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）方程在上有3个解；证明见解析。

【解析】

（1）根据直线的切线方程，可得斜率即过的定点坐标，对函数求导，代入横坐标即可求得参数a；将横坐标带入原函数即可求得b，即得解析式。

（2）令，对求导，并可知，，根据零点存在定理及单调性可知在上只有一个零点。同理，讨论在各区间的端点符号及单调性即可判断零点情况。

（1）直线的斜率为，过点

，则，即

所以

（2）方程在上有3个解。

证明：令，

则

又，，

所以在上至少有一个零点

又在上单调递减，故在上只有一个零点，

当时，，故，

所以函数在上无零点.

当时，令，，

所以在上单调递增，，

所以，使得在上单调递增，在上单调递减.

又，，所以函数在上有2个零点.

综上，方程在上有3个解.