Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）设函数，若有两个零点.

（i）求的取值范围；

（ii）证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（i）；（ii）证明见解析.

【解析】

（1），分，，，四种情况讨论即可；

（2）（i）由（1）知，且在处取得极大值，当时，， 当时，，所以只需，构造函数解不等式即可；（ii）构造函数，，利用导数结合的单调性证明即可.

（1），

①当时，，；

∴在上单调递减，在上单调递增；

②当时，，∴在上单调递增；

③当时，，或，

，∴在和上单调递增，在上单调递减；

④当时，，或，

，∴在和上单调递增，在上单调递减；

（2），

（i）若，则恒成立，在上递增，所以至多一个零点，与已知不符合，故

当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，为

当时，， 当时，

∵有两个零点，所以只需极大值，即

设，

则，所以在上单调递减

又，所以使得的.

（ii）结合（i）的分析，不妨设，

设，，

所以

当时，，∴在上单调递增.

∵，且，∴

又，∴，

由，可知与均属于，

又在上单调递减，

∴由，即.