Question

1．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁为a（a∈R），且$\frac{1}{a_1}，\frac{1}{a_2}，\frac{1}{a_4}$成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，试比较$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_8}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$与$\frac{1}{a_1}$的大小．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可知，$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$
可得d=a₁=a．即通项公式a_n=na．
（2）记T_n=$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_8}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$
T_n=$\frac{1}{a}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1}{a}$•$\frac{\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n}}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{a}$[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]．
，当a＞0时，T_n＜$\frac{1}{{a}_{1}}$；当a＜0时，T_n＞$\frac{1}{{a}_{1}}$．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可知，$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），从而a₁d=d²，
因为d≠0，所以d=a₁=a．故通项公式a_n=na．
（2）记T_n=$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_8}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$
因为a_2ⁿ=2ⁿa，
所以T_n=$\frac{1}{a}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{1}{a}$•$\frac{\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n}}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{a}$[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]．
从而，当a＞0时，T_n＜$\frac{1}{{a}_{1}}$；
当a＜0时，T_n＞$\frac{1}{{a}_{1}}$．

点评 本题考查了等差、等比数列的性质，数列求和，考查了计算能力，属于中档题．