Question

已知sinα=

2 5

5

，sin（α-β）=

10

10

，且α，β∈（0，

π

2

）．求：
（Ⅰ）cos（2α-β）的值．
（Ⅱ）β的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由已知可得cosα和sin（α-β）的值，可得cos（2α-β）=cos[α+（α-β）]=cosαcos（α-β）-sinαsin（α-β），代入化简可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），代入化简可得其值，结合β的范围可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵α，β∈（0，

π

2

），∴α-β∈（-

π

2

，

π

2

），
∵sinα=

2 5

5

，∴cosα=

1-sin2α

=

5

5

，
∴cos（α-β）=

1-sin2(α-β)

=

3 10

10

，
∴cos（2α-β）=cos[α+（α-β）]
=cosαcos（α-β）-sinαsin（α-β）
=

5

5

•

3 10

10

-

2 5

5

•

10

10

=

2

10

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosβ=cos[α-（α-β）]
=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

5

5

•

3 10

10

+

2 5

5

•

10

10

=

2

2

，
又∵β∈(0，

π

2

)，∴β=

π

4

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，整体法是解决问题的关键，属中档题．