Question

18．已知函数f（x）=mx²+$\frac{1}{x}$的图象关于点O（0，0）对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=（a+1）f（x）+x，g（x）在区间（0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性，求出m的值，从而求出f（x）的解析式即可；
（2）问题转化为a≥-x²+6x-1，令q（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）因为函数$f（x）=m{x^2}+\frac{1}{x}$的图象关于点O（0，0）对称，
所以f（x）是奇函数，即?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=-f（x），
∴$m{（{-x}）^2}+\frac{1}{-x}=-（{m{x^2}+\frac{1}{x}}）$，2mx²=0，对?x∈（-∞，0）∪（0，+∞）成立，
∴$m=0∴f（x）=\frac{1}{x}$．
（2）由题意$g（x）=x+\frac{a+1}{x}$，且$g（x）=x+\frac{a+1}{x}≥6$，在x∈（0，2]恒立，
∵x∈（0，2]，∴a+1≥x（6-x），
即a≥-x²+6x-1，令q（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]，
而g（x）=-（x-3）²+8，对称轴x=3，
∴x∈（0，2]时，g（x）递增，
q（x）_max=q（2）=7，
故a≥7．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及二次函数的性质，是一道中档题．