Question

3．定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）＞f（0），且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法以及奇函数的定义，证明即可．
（2）利用函数的单调性以及奇偶性，转化为不等式，通过分离常数法以及基本不等式求解即可．

解答 解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=-x，代入①式，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函数．
（2）解：因为f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，
又由（1）f（x）是奇函数．
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
k•3^x＜-3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分离系数得：$k＜-1+t+\frac{2}{t}$，
问题等价于$k＜-1+t+\frac{2}{t}$，对任意t＞0恒成立．
∵$-1+t+\frac{2}{t}≥-1+2\sqrt{2}$，
∴$k＜-1+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查抽象函数以及函数恒成立的应用，考查转化思想以及计算能力．