Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=PB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积为

1

2

时，tanθ的值为（　　）

• A．2
• B．

  1

  2

• C．

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：先计算AE的值，再证明AF⊥平面PCB，可得AF⊥EF，利用三角形的面积公式求出AF，进而求出PC，BC，即可求tanθ的值．

解答：解：∵PA⊥底面ABC，∠ACB=90°
∴PA⊥AC，PA⊥AB
∴PC²=PB²=PA²+AC²=4+4=8
∵AE⊥PB，PA=AB=2，∴AE=

PA×AB

PB

=

2

∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC
∴AF⊥BC
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PCB
∴AF⊥EF
∴△AEF的面积=

AF×EF

2

=

1

2

∴AF×EF=1
∵AE=

2

=

AF2+EF2

，
∴AF2+

1

AF2

=2
∴AF=1
∵PA=2，∴∠APC=30°，∴PC=

4 3

3

∵PB=2

2

，∴BC=

2

3

6

∴tanθ=

BC

PC

=

2 3 6

4 3 3

=

2

2

点评：本题考查线面垂直，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．