Question

【题目】已知正方体的棱长为，点E，F，G分别为棱AB，，的中点，下列结论中，正确结论的序号是___________.

①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；

②平面EFG；

③平面；

④异面直线EF与所成角的正切值为；

⑤四面体的体积等于.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据公理3,作截面可知①正确;根据直线与平面的位置关系可知②不正确;根据线面垂直的判定定理可知③正确;根据空间向量夹角的坐标公式可知④正确;用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知⑤不正确.

延长EF分别与，的延长线交于N，Q，连接GN交于H，设HG与的延长线交于P，连接PQ交于，交BC于M，连FH，HG，GI，IM，ME,,

如图:

则截面六边形EFHGIM为正六边形，故①正确：

因为与HG相交，故与平面EFG相交，所以②不正确：

(三垂线定理)，

(三垂线定理)，

且AC与相交，

所以平面，故③正确；

以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,

则,

则,,

所以,

所以,

所以,

所以异面直线EF与的夹角的正切值为，故④正确；

因为四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，

即为，故⑤不正确．

故答案为：①③④