Question

【题目】设椭圆，右顶点是，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由椭圆右顶点的坐标为A（2，0），离心率，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；（2）当直线斜率不存在时，设，易得，当直线斜率存在时，直线，与椭圆方程联立，得，由可得，从而得证.

（1）右顶点是，离心率为，

所以，∴，则，

∴椭圆的标准方程为.

（2）当直线斜率不存在时，设，

与椭圆方程联立得：，，

设直线与轴交于点，，即，

∴或 (舍），

∴直线过定点；

当直线斜率存在时，设直线斜率为，，则直线，与椭圆方程联立，得，

，，，

，

，则，

即，

∴，

∴或，

∴直线或，

∴直线过定点或舍去；

综上知直线过定点.