Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

与x=1时都取得极值．
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（0）=1，且x∈[-1，2]，求函数f（x）的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），根据极值的概念，容易建立关于a，b的方程组，解方程组即得a，b的值，这时候就可以求f′（x）了，根据f′（x）的符号即可找到函数f（x）的单调递减区间．
（2）根据条件可求出c，根据（1）可以知道函数f（x）在[-1，2]上导数f′（x）的符号，根据极值的定义可求出f（x）在[-1，2]上的极值，并求出端点值从而根据最值的概念求出函数f（x）在[-1，2]上的最值．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax+b；
∴

f′(- 2 3 )= 4 3 - 4 3 a+b=0 f′(1)=3+2a+b=0

，解得a=-

1

2

，b=-2；
（1）f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）；
∴x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，∴[-2，1]是函数f（x）单调递减区间；
（2）f（0）=c=1；
∴f（x）=x3-

1

2

x2-2x+1，由（1）知：x∈[-1，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，2]时，f′（x）＞0；
∴f（1）=-

1

2

是函数f（x）的极小值，又f（-1）=

3

2

，f（2）=3；
∴函数f（x）的最小值是-

1

2

，最大值是3．

点评：考查极值的概念，在极值点处的导数情况，根据导数符号判断函数的单调性，找函数的单调区间，以及求闭区间上函数最值的方法．