Question

（1）已知命题p：方程x²-（2+a）x+2a=0在[-1，1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式
x²+2ax+2a≤0成立．若命题“p∧q”是真命题，求a的取值范围．
（2）已知两个关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0和x²-4mx+4m²-4m-5=0，求两方程的根都是整数的充要条件．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）由x²-（2+a）x+2a=0可得得x=2或x=a，结合题意可得-1≤a≤1．又△=4a²-8a≥0可得得a≤0或a≥2，取交集可得；（2）可得m≠0．两方程都要有实根，△₁=16-16m≥0且△₂=16m²-4（4m²-4m-5）≥0，可得m∈[-

5

4

，1]，又

4

m

∈Z，4m∈Z，4m2-4m-5∈Z．∴m为4的约数，可得m=-1或1，验证可得．

解答： 解：（1）由x²-（2+a）x+2a=0，得（x-2）（x-a）=0，解得x=2或x=a．
又方程x²-（2+a）x+2a=0在[-1，1]上有且仅有一解，∴-1≤a≤1．
∵存在实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，
∴△=4a²-8a≥0，解得a≤0或a≥2．
又∵命题“p∧q”是真命题，∴命题p和命题q都是真命题．
∴a的取值范围为{a|-1≤a≤0}．
（2）∵mx²-4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程为x²-4mx+4m²-4m-5=0，且两方程都要有实根，
∴△₁=16-16m≥0且△₂=16m²-4（4m²-4m-5）≥0
解得m∈[-

5

4

，1]
∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴

4

m

∈Z，4m∈Z，4m2-4m-5∈Z．∴m为4的约数．
又∵m∈[-

5

4

，1]，∴m=-1或1．
当m=-1时，第一个方程x²+4x-4=0的根为非整数；
而当m=1时，两方程的根均为整数，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1．

点评：本题考查复合命题的真假，涉及韦达定理和分类讨论的思想，属中档题．