Question

9．已知函数f（x）=aln x-ax-1（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x₁，x₂∈[1，+∞），比较ln（x₁x₂）与x₁+x₂-2的大小．

Answer 1

分析 （1）把a=-1代入函数解析式，求导后分别由导函数大于0和小于0求得函数的单调期间；
（2）由（1）中求得的函数的单调性，可知当a=-1，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即-ln x+x-1≥0，得到0≤ln x₁≤x₁-1，0≤ln x₂≤x₂-1，作和后可得
0≤ln（x₁x₂）≤x₁+x₂-2，由此可得ln（x₁x₂）与x₁+x₂-2的大小．

解答 解：（1）当a=-1时，f′（x）=$-\frac{1}{x}+1$（x＞0），
由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（2）由（1）可知，当a=-1，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即-ln x+x-1≥0，
∴0≤ln x≤x-1对一切x∈[1，+∞）恒成立．
若x₁，x₂∈[1，+∞），则0≤ln x₁≤x₁-1，0≤ln x₂≤x₂-1，
∴0≤ln x₁+ln x₂≤x₁+x₂-2，即0≤ln（x₁x₂）≤x₁+x₂-2．
故当x₁=x₂=1时，ln（x₁x₂）=x₁+x₂-2；
当x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁，x₂不全为1时，ln（x₁x₂）＜x₁+x₂-2．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式，该类问题中函数不等式的证明，往往要用到前一问中的结论，属中档题．