Question

如图，已知椭圆E的中心是原点O，其右焦点为F(2，0)，过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线，若共线请证明；反之说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) ； (Ⅱ)参考解析

试题分析：(Ⅰ)因为右焦点为F(2，0)，所以可得c=2,又因为过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.所以.再利用椭圆中的关系式.即可求出b的值，从而可得结论.
(Ⅱ)假设.通过以及点在椭圆上，消去.即可得一个用表示的一个等式.又由于.通过对比向量与即可得结论.
试题解析：（1）由题意可知：，则，，从而，故所求椭圆的方程为．                   5分
（2）解：三点共线.
证明：，由已知得方程组
注意到，解得，因为，所以
,
又
，所以，从而三点共线。            12分