Question

定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线.现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为.
（1）写出的渐近线方程（不用证明）；
（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明.
（3）求值：.

Answer 1

（1）、；（2）是；（3）1.

试题分析：（1）由其图像很容易知道的渐近线方程即轴和一、三象限的角平分线.从而写出
的渐近线方程都是：和；（2）先利用渐近线与实轴、虚轴间的关系得到的实轴所在直线为
与虚轴所在直线为.然后计算实轴与双曲线
的交点，从而得到、 、.同理也可得到的类似数据，从
而得到证明；（3）由上问即可得到，，所以="1" .
试题解析：（1）的渐近线方程都是：和.               3分
（2）双曲线是共轭双曲线.                            4分
证明如下： 对于，实轴和虚轴所在的直线是和的角平分线所
的直线， 所以的实轴所在直线为，
虚轴所在直线为，                       6分
实轴和的交点到原点的距离的平方.
又，所以 从而得；     8分
同理对于，实轴所在直线为，
虚轴所在直线为，
实轴和的交点到原点的距离的平方
 ，所以，从而得.
综上所述，双曲线是共轭双曲线.                             10分
（3） 由（2）易得，，
所以="1" .                                                13分