Question

已知椭圆经过点,离心率为．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k₁,k₂,当k₁·k₂最大时,求直线l的方程．

Answer 1

(1) .(2).

试题分析：(1) 由已知建立方程组 ①  ②， 即得解.
(2)两种思路，一是讨论①当直线的斜率为0，②当直线的斜率不为0的情况；二是讨论①当直线垂直于x轴，②当直线与x轴不垂直的情况.两种情况的不同之处在于，直线方程的灵活设出.
第一种思路可设直线的方程为, 第二种思路可设直线的方程为.两种思路下，都需要联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程.
本题是一道相当典型的题目.
试题解析：(1) 由已知可得，所以    ①               1分
又点在椭圆上，所以    ②               2分
由①②解之，得.
故椭圆的方程为.                                   4分
(2)解法一：①当直线的斜率为0时,则;       5分
②当直线的斜率不为0时,设,,直线的方程为,
将代入,整理得.        7分
则,                                 9分
又,,
所以, 

                                 11分
令,则
当时即时，；
当时，
 或
当且仅当,即时, 取得最大值.               13分
由①②得,直线的方程为.                  14分
解法二：①当直线垂直于x轴时,则;
②当直线与x轴不垂直时,设,,直线的方程为,
将代入,整理得.
则
又,,
所以,  
令由得或
所以当且仅当时最大，所以直线的方程为.