Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB=1，P为△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为（　　）

• A、

  1

  9

• B、

  1

  8

• C、

  1

  6

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型,平行线分线段成比例定理

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：设阴影部分的直角边长分别为x，y，z，则x+y+z=1，三个三角形的面积和为

1

2

（x²+y²+z²），利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：设阴影部分的直角边长分别为x，y，z，则x+y+z=1，
三个三角形的面积和为

1

2

（x²+y²+z²），
∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz≤3（x²+y²+z²），
∴x²+y²+z²≥

1

3

，
∴

1

2

（x²+y²+z²）≥

1

6

，
∴三个三角形的面积和的最小值为

1

6

，
故选：C．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，确定阴影部分的直角边长之和为1是关键．