已知直线x-$\sqrt{3}$y+2=0过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点.且与双曲线的一条渐近线垂直.则双曲线的实轴长为2．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知直线x-$\sqrt{3}$y+2=0过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为2．

分析求得直线x-$\sqrt{3}$y+2=0在x轴上的交点，可得c=2，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得b=$\sqrt{3}$a，解方程可得a=1，进而得到实轴长2a．

解答解：直线x-$\sqrt{3}$y+2=0过x轴上的交点为（-2，0），
由题意可得c=2，即a²+b²=4，
由直线x-$\sqrt{3}$y+2=0与双曲线的一条渐近线垂直，
可得-$\frac{b}{a}$•$\frac{1}{\sqrt{3}}$=-1，
即为b=$\sqrt{3}$a，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
可得双曲线的实轴长为2．
故答案为：2．

点评本题考查双曲线的实轴长，注意运用双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，以及运算能力，属于基础题．

练习册系列答案

9．已知点A（-4，0），直线l：x=-1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线．

6．关于x的不等式$\frac{7x-2}{x+4}$≥x的解集为（-∞，-4）∪[1，2]．

13．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，则该双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

3．

如图，点F₁、F₂为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左右焦点，点A、B、C分别为双曲线上三个不同的点，且AC经过坐标原点O，并满足$\overrightarrow{A{F_2}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{F_2}B}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{F_2}}=0$，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

10．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线为y=2x，且一个焦点为（5，0），则双曲线的方程为（　　）

	A．	$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$		B．	$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$
	C．	$\frac{3{x}^{2}}{25}-\frac{3{y}^{2}}{100}=1$		D．	$\frac{3{x}^{2}}{100}-\frac{3{y}^{2}}{25}=1$

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂（1，0），且经过点（1，$\frac{3}{2}$）直线l：x+2y-8=0
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值及此时点P的坐标；
（3）过点E（0，1）的直线m与椭圆C交于不同的两点A，B，若$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），O为坐标原点，求点M的轨迹方程．

8．如图，当输出的结果为36时，则该程序输入的是（　　）

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